✎ Trouver un extremum à partir d'un tableau de variations

Méthode

Chercher les extremums d'une fonction, c'est chercher le maximum et le minimum de celle-ci, s'ils existent. Il est donc possible que la fonction n'aie qu'un minimum ou bien qu'un maximum. Dans certains manuels, vous pourrez rencontrer le mot extrema qui est la version latine d'extremums.

Exemple 1

Voici le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-5;4]\).

D'après la seconde ligne de ce tableau de variations, on sait que \(f(-2)=3\) et que \(f(4)=2\).
Or \(3>2\), donc \(3\) est le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([-5;4]\) ; ce maximum est atteint en \(x=-2\).
D'après la seconde ligne de ce tableau de variations, on sait aussi que \(f(-5)=-1\) et que \(f(3)=0\). Or \(-1<0\), donc \(-1\) est le minimum de \(f\) sur l'intervalle \([-5;4]\) ; ce minimum est atteint en \(x=-5\).
On en déduit l'encadrement suivant : pour tout \(x\in[-5;4]: -1\leq f(x) \leq 3\)

Remarques

• Dans l'exemple précédent, on travaille uniquement sur l'intervalle \([-2;3]\) .
  Dans ce cas, le minimum de \(f\) sur l'intervalle \([-2;3]\) est \(0\) ; ce minimum est atteint en \(x=3\).
  Le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([-2;3]\) est \(3\) ; ce maximum est atteint en \(x=-2\).
  On en déduit l'encadrement suivant : pour tout \(x\in[-2;3]: 0\leq f(x) \leq 3\).
  
• Dans l'exemple précédent, on travaille uniquement sur l'intervalle \([3;4]\).
  Dans ce cas, le minimum de \(f\) sur l'intervalle \([3;4]\) est \(0\) ; il est atteint en \(x=3\).
  Le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([3;4]\) est \(2\) atteint ; il est atteint en \(x=4\).
  On en déduit l'encadrement suivant: pour tout \(x\in[3;4]: 0\leq f(x) \leq 2\).
  

​​​​​​Exemple 2

Voici le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Cette fonction n'admet pas de maximum sur \(\mathbb{R}\).
Elle admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) : ce minimum est \(-3\) et est atteint en \(x=0\).
On en déduit l'inégalité suivante : pour tout \(x\in \mathbb{R} : f(x)\geq -3\).
On peut aussi écrire que, pour tout \(x\in \mathbb{R} : f(x)\geq f(0)\).